دانلود ریاضی دهم فصل دوم معادله درجه دوم

 معادله درجه اول و مسائل توصیفی : همه ما می دانیم معادله چیست . بدون معادله حل خیلی از سوال های ریاضی سخت می شود . اگر بخواهیم یک تعریف ساده از معادله بگوییم . می توانیم این گونه بیان کنیم :
« معادله یک تساوی جبری است که دارای یک مجهول بوده و به ازای یک عدد خاص ( شایدهم بیشتر از یک عدد!، شاید هم هیچ وقت!! و البته شاید هم همیشه) تساوی برقرار است . این عدد یا عدد خاص را جواب معادله یا ریشه معادله می نامیم » . 
به عنوان مثال ،   یک معادله است که به ازای   به یک تساوی عددی تبدیل می شود .   را جواب ( ریشه ) معادله می نامیم .
o مثال 1 : سه برابر عددی منهای 8 با قرینه ی آن عدد به علاوه ی 12 برابر است . این عدد را به دست آورید .
پاسخ : عدد مورد نظر را   می گیریم :
سه برابر آن منهای 8 ( یعنی   ) با قرینه ی آن عدد به علاوه 12 ( یعنی   ) برابر است ، پس داریم :  
 
حالا جملات شامل   را به یک سمت تساوی و اعداد ثابت را هم به سمت دیگر تساوی می بریم :

 
در نهایت ، طرفین تساوی را بر ضریب    ( یعنی 4 ) تقسیم می کنیم :
 
پس عدد مجهول ، 5 بوده است .

o مثال 2 : جواب معادله ی   را بیابید .
پاسخ : ابتدا باید در سمت چپ معادله ، مخرج مشترک بگیریم .

 

حال باید سمت چپ معادله را با سمت راست معادله برابر قرار دهیم :

 
مخرج دو کسر با هم ساده می شوند :

 

o مثال 3 : سن پدری 4 برابر سن فرزندش است . اگر سن پدر 56 سال باشد ، چند سال پیش سن پدر 8 برابر سن فرزندش بوده است ؟
پاسخ : سن پدر 56 سال است و 4 برابر پسر سن دارد ، پس سن پسر   یعنی 14 بوده است . سوال پرسیده چند سال قبل سن پدر 8 برابر سن فرزندش بوده ؟ ما فرض می کنیم   سال پیش سن پدر ( یعنی   ) 8 برابر سن پدر ( یعنی    (، برابر سن   سال پیش پسر ( یعنی  )
است :
 

o مثال 4 : اگر به 3 برابر عددی 4 واحد اضافه شود و از نصف حاصل ، همان عدد کم شود ، حاصل 5 می شود . آن عدد کدام است ؟ 
پاسخ : عدد مورد نظر را   می گیریم . به 3 برابر این عدد ( یعنی   ) 4 واحد اضافه می شود ( یعنی   ) و از نصف حاصل ( یعنی از   ) ، همان عدد کم می شود ( یعنی از   عدد   را کم می کنیم :   ) حاصل 5 می شود ؛ پس :
 

حال طرفین معادله را در عدد 2 ضرب می کنیم :
 

 معادله درجه دوم : معادله هایی را که از ساده کردن ، بالاترین درجه ی متغیرشان دو باشد ، معادله ی درجه دوم می نامیم . مثلا معادله های زیر ، معادله های درجه دوم هستند :
  و  
 نکته 1 : فرم کلی یک معادله ی درجه دوم به صورت   است که در آن   و   و   اعداد ثابت هستند . دقت کنید که اگر    باشد ، معادله درجه دوم نیست ( چون   از بین می رود ) ، پس   باید عددی مخالف صفر باشد .

o مثال 5 : اگر معادله ی   ، یک معادله ی درجه دوم باشد ،    چه اعدادی می تواند باشد ؟

پاسخ : برای آن ه معادله ی بالا یک معادله ی درجه دوم باشد ، باید ضریب   ( یعنی    ) عددی مخالف صفر باشد :

 
پس    هر عددی می تواند باشد به غیر از 1 .
 

o مثال 6 : برای عبارت زیر یک معادله بنویسید . ( با فرض این که سن غزال را   فرض کنیم )
« میترا ، سه سال از غزال بزرگتر و حاصل ضرب سن آن ها 4 برابر سن میترا ، 60 سال بیشتر است » .
پاسخ : سن غزال را   می گیریم . چون میترا 3 سال از غزال بزرگتر است ، پس سن میترا   است . چون حاصل ضرب سن آن ها از 4 برابر سن میترا ، 60 سال بیشتر است ، پس داریم :